💪动态规划多重背包问题 📦

多重背包问题是动态规划中的经典问题之一，它是在0/1背包问题和完全背包问题的基础上进行扩展的。问题的核心是：给定若干种物品，每种物品有数量限制，目标是在不超过背包容量的前提下，选择物品使得总价值最大。🤔

首先，我们需要明确多重背包问题的定义。假设每种物品都有一个重量 `w` 和价值 `v`，以及可选数量 `c`。通过动态规划算法，我们可以构建一个二维数组 `dp[i][j]` 来记录前 `i` 种物品在容量为 `j` 的情况下能达到的最大价值。核心公式为：

`dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-kw[i]] + kv[i])`，其中 `k` 是第 `i` 种物品的选取次数（`0 ≤ k ≤ c[i]`）。💻

解决多重背包时，还可以通过二进制拆分优化算法，将每种物品的数量转换为多个小数量的组合，从而降低时间复杂度。这种方法非常适合大规模数据场景，能显著提升效率。🔥

总结来说，多重背包问题不仅考验算法设计能力，还体现了动态规划的强大灵活性。如果你对算法感兴趣，不妨动手实践一下吧！🚀✨